vie

13

abr

2018

Coordenadas y funciones

 

Reforzaremos lo que ya sabemos sobre coordenadas cartesianas y aprenderemos a dibujar gráficas de funciones.

 

Ver los temas desarrollados:

- Coordenadas


- Funciones lineales. Resolución gráfica de sistemas


- Otras funciones

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jue

12

abr

2018

PROBABILIDAD

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mar

13

mar

2018

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - MT 3º ESO

M. de sustitución consiste en...

 

--> Despejar una incógnita de una ecuación.

--> Sustituir en la otra

Ejercicios sistemas método sustitución
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Soluciones
Soluciones ej.sustitución.JPG
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M. de igualación consiste en...

 

--> Despejar una incógnita de una ecuación.

--> Despejar la misma incógnita de la otra ecuación.

--> Igualar ambas expresiones.

Ejercicios sistemas método igualación
Ejer.sistemas.igualación.JPG
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Soluciones
Soluciones.Ejer.sistemas.igualación.JPG
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M. de reducción consiste en...

 

--> Sumar las ecuaciones y que una incógnita desaparezca.

A veces, hay que multiplicar una ecuación (o las dos) por números adecuados.

Ejercicios sistemas método reducción
Ejer.reducción.JPG
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Soluciones
Soluciones.Ejer.reducción.JPG
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M. de gráfico consiste en...

 

--> Dibujar la gráfica de las dos ecuaciones (dos rectas).

--> Ver si las rectas se cortan (hay solución), son paralelas (el sistema no tiene solución) o son coincidentes (infinitas soluciones).

 

Ejer_Sistemas_gráfico.jpg
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Ejer_Sistemas_gráfico_soluciones.jpg
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El método gráfico funciona realmente bien si usamos un programa que nos haga las gráficas. Os recomiendo Geogebra.

web oficial https://www.geogebra.org/download
web oficial https://www.geogebra.org/download
Versión portable. Clic para descargar.
Versión portable. Clic para descargar.
Ejercicios_Geogebra_SISTEMAS.pdf
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También puedes descargarte la app o la extensión para Chrome

Cuando acabas tus cálculos puedes comprobar si el resultado que has obtenido está bien o mal.

Vamos a comprobar cuál de las tres opciones ofrecidas es la correcta.

 

A) Sustituimos la x por 2 y la y por 3 ...

    en la primera ecuación queda

    -10+18 =70 ?

    8 no es igual a 70

    por lo tanto la opción A) NO es la solución.

 

B) Sustituimos...10+60 = 70 ?  --> SI!

    Sustituimos en la segunda... -8+30 = 22 ?

     --> SI!

   Ésta es la solución!!!

Queremos inventar un sistema que tenga como solución x= 1    y= 4

 

Comenzamos por ejemplo con 3x-6y ... tendrá que ser igual a ... 3·1-6·4 =3-24=-21

Ya tenemos la primera ecuación --> 3x-6y=-21

 

Vamos con la segunda ecuación

Ponemos 2x + y ... tiene que ser ... 2·1+4 ... 6

Será 2x + y=6


Si tienes que inventar un sistema con infinitas soluciones solo tienes que escribir una ecuación y poner como segunda ecuación la primera duplicada o triplicada...

Y si tienes que inventar un sistema incompatible (sin solución), escribe una ecuación y pon como segunda ecuación la primera duplicada o triplicada PERO igualada a otro número del que debería...


Si nos dan un sistema con las incógnitas desordenadas, o hay paréntesis por hacer, o hay denominadores...operaremos hasta que esté "perfecto":

  • las "x" en la primera columna
  • las "y" en la segunda
  • y a la derecha del = los términos independientes

Realiza estos ejercicios en tu cuaderno.
Ejercicios_N1.pdf
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Si, si...los sistemas ayudan a resolver problemas. Sólo tienes que:

1.- Leer atentamente el enunciado.

2.- Elegir (y escribir) las incógnitas y expresiones que nos van a servir.

3.- Releer y plantear un sistema, traduciendo el enunciado a ecuaciones.

4.- Resolver y decir la solución.

 

Según vayas haciendo problemas te costará menos plantearlos.

Tranquilo/a !!!  Les pillarás el "truco".

 

 

Problemas del libro: páginas 142, 143, 148 y 149

 

Comprueba tus soluciones. Pincha aquí

Éste es un método muy diferente a los que estás acostumbrado/a...se usan DETERMINANTES.

EJERCICIOS

RESUELTOS

a) b) Resueltos por Cramer
2017-02-28.jpg
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c) d) Resueltos por Cramer
2017-02-28_1.jpg
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vie

05

ene

2018

PROGRAMACIÓN LINEAL

Para que sepas más sobre sistemas de inecuaciones te explico aquí cómo resolver problemas de programación lineal.

...Interesante...

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mar

19

dic

2017

BINOMIO DE NEWTON

Vamos a aprender a desarrollar (a+b) elevado a cualquier exponente positivo.

En 2º de ESO ya aprendiste a hacer el binomio suma al cuadrado... el resultado era 

Fíjate que comenzamos elevando al cuadrado el a, luego ponemos el número +2 por a y por b, y finalmente ponemos +b al cuadrado...Observa los coeficientes del resultado...son   1    2    1

 

Esos números aparecen en un triángulo famoso: el triángulo de Pascal (o t. de Tartaglia). Formemos más filas del triángulo... Cada fila comienza y termina en el número 1; el resto de números salen al sumar los dos números que tiene arriba...

Fíjate


Mira y verás que: el a comienza elevado a 3 y, poco a poco, baja y cede exponente al b

 

Desarrollo de las potencias
20170120_215605.jpg
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Si lo que tienes que desarrollar es una resta elevada a n también te sirve el triángulo de Pascal.

La única diferencia es que los números llevan signos alternados + - + - ...

Así, en el desarrollo de la resta elevada a 4, los coeficientes que saldrán son 1  -4  +6  -4  +1

 

 

<-- Ésta es la fórmula "comprimida" del binomio       de Newton.

 

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mar

31

oct

2017

Igualdades notables


Ejercicios interactivos

Haz clic en la imagen para ir a la web correspondiente.

Con papas...

ematemáticas

sm

genmagic

anaya

vitutor


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lun

30

oct

2017

POLINOMIOS


Gran parte del tema ya lo trabajaste en 2º...pincha aquí para repasar.

Lo nuevo en tercero, es división y factorización...vamos allá

La división puede realizarse siempre que el grado del Dividendo sea mayor o igual al grado del Divisor. El proceso es muy parecido a cuando te tocaba dividir a mano números y el divisor tenía varias cifras. La división acaba cuando el grado del Resto es menor que el grado del Divisor. 

Si el Divisor es de la forma (x+a)...la división puede hacerse usando otro método más rápido: la regla de Ruffini.

EJERCICIOS DE DIVISIÓN

Descubre quién fué Paolo Ruffini
Descubre quién fué Paolo Ruffini

Polinomios_DIV_CAJA_RESUELTO.pdf
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Polinomios_DIV_Ruffini_RESUELTO.pdf
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Si te piden que factorices todo lo posible un polinomio, estos son los pasos que debes hacer:

1.- Ver si se puede sacar factor común

2.- Ver si ese polinomio es una identidad notable

3.- Usar el método de Ruffini


 

 

 

 

EJERCICIOS DE FACTORIZAR

 

Vitutor

 

Wolfram Alpha

 

ematemáticas

 

profesor10demates

 

 

 

 

 

 

 


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dom

22

oct

2017

MT ESO Académicas-UNIDAD 2


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jue

05

oct

2017

RADICALES


CALCULAR RADICALES "A MANO"

Cuando nos pidan calcular un radical sólo tenemos que "ponernos las gafas de factorizar" y mirar...

Vemos claramente que el resultado es 5

Bueno...realmente hay dos soluciones aquí: 5 y -5


Recuerda también que raíz cuarta de cinco a la cuarta podemos escribirlo como "5 elevado a 4/4"

 

 

Vamos con otro ejercicio: Calcula esta raíz cúbica 

 

El resultado es 2·3=6

Sólo 6, que el índice es impar.



CALCULAR RADICALES "CON CALCULADORA"

En el modelo CASIO fx-82ES PLUS (NATURAL - V.P.A.M)...

Usarás esta tecla para raíces cuadradras, SHIFT + tecla para raíces cúbicas.

Esta otra (SHIFT+tecla) para raíces de otros índices.


Si tienes otro modelo de calculadora la tecla será raíz x de y ó x elevado a 1/y ...

SIMPLIFICAR RADICALES

Podemos no terminar de calcular, porque no da exacto, pero si dejarlo más simplificado:

- extrayendo factores o

- simplificando exponente y radical

EXTRAER FACTORES

Factorizas el radicando y extraes los factores que puedas...

EJEMPLO:

OTRO EJEMPLO:

SIMPLIFICAR EXPONENTES

Factorizas y miras bien el exponente del radicando y el índice de la raíz. Si esos dos números tienen algún divisor común (otro que no sea el 1), podrás simplificar. Recuerda que la raíz es una potencia de exponente fraccionario.

EJEMPLO:



 

 

 

Me hace gracia esta marca de zapatillas...

 

Raíz cuadrada de Ans ;-)


Suma y resta

Multiplicar y dividir


Extraer o introducir factores

Racionalizar


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vie

29

sep

2017

NÚMEROS COMPLEJOS: INTRODUCCIÓN

 

 

Alguna de las ecuaciones de segundo grado que hemos tenido que resolver tenía discriminante negativo. Teníamos que parar ahí y decir "no tiene solución real" porque con los números conocidos hasta ahora (los números Reales) no podíamos seguir...ningún número real elevado al cuadrado da negativo.

Con los números Complejos se abre una puerta enorme... y nos permite resolver esas ecuaciones.


Ahora tú...

Resuelve las ecuaciones
ejercicios.jpg
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Soluciones
soluciones.jpg
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Dicho de otra manera: ahora que existe el conjunto de los números complejos, una ecuación de grado 2 tiene 2 soluciones (reales o complejas, distintas o repetidas)...una ecuación de grado 3 tiene 3 soluciones...una ecuación de grado 4 tiene 4 soluciones...etc...

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dom

17

sep

2017

MT 4 ESO Académicas - UNIDAD 1 - Números reales. Porcentajes

CONJUNTOS NUMÉRICOS

TRES NÚMEROS IRRACIONALES MUY FAMOSOS


 

 

 + Info sobre conjuntos numéricos.

Amplía...Números complejos.

Actividad: Distingue entre racionales e irracionales.

HABLANDO DE LA IRRACIONALIDAD DE PI...

El motivo de la imposibilidad de "la cuadratura del círculo" radica ahí...al ser irracional, es imposible construir con regla y compás un cuadrado con la misma área que un círculo dado.

 

Para que sepas más sobre LOS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA ANTIGÜEDAD te dejo estos dos enlaces

Enlace 1 (masquemates)

Enlace 2 (revista SUMA)

y el vídeo de la derecha.


UNA CURIOSIDAD SOBRE EL NÚMERO CERO

Aproximaciones y errores - teoría y práctica

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS

Ejercicios de intervalos

Ejercicios de semirrectas


Teoría y ejemplos aquí

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dom

10

sep

2017

VECTORES EN EL PLANO

He seleccionado un montón de buenos sites para aprender todo sobre vectores en el plano. Haz clic en la imagen para accceder.

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mié

31

may

2017

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

En los cursos de 1º y 2º aprendiste muy bien la función lineal.

Su forma general es y = mx +n  <-- una ecuación de primer grado

Para dibujarla bastaba con crear una tabla de valores, al dibujar los puntos se veían alineados y los unías con la regla.

El resto de funciones son más complicadas de graficar. La tabla de valores sólo nos da una idea aproximada de cómo es su gráfica (y eso lo haremos bien si tenemos "buena puntería" con los puntos que creemos en la tabla).

En 3º verás con detalle las gráficas de las funciones del tipo y = ax2 + bx +c . Esta ecuación de segundo grado da una parábola como gráfica.

En 4º verás más funciones: exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, polinómicas de grado mayor que 2,...y verás que hay que hacer un estudio previo (dominio, puntos de corte, crecimiento y decrecimiento...).

 

De momento puedes dibujarlas usando el fantástico programa Geogebra. Es gratuito y en castellano. Introduce la ecuación de la función y la verás dibujada inmediatamente. Dispone de un montón de botones...investiga!...así conocerás a las funciones un poquito mejor.

Quizá sea más cómo para ti instalarte la extensión de Geogebra que existe para Chrome.

Clic enla imagen para descargar
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